Олимпиадные задачи из источника «1995-1996» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Существует ли такая бесконечная периодическая последовательность, состоящая из букв <i>a</i> и <i>b</i>, что при одновременной замене всех букв <i>a</i> на <i>aba</i> и букв <i>b</i> на <i>bba</i> она переходит в себя (возможно, со сдвигом)?

Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых различных натуральных <i>a, b, c</i> и <i>d</i> среди чисел <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109883/problem_109883_img_2.gif"></div>есть по крайней мере два числа, равных<i>n</i>.

Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i> = | </i>4<i> - </i>4<i>|x|| - </i>2. Сколько решений имеет уравнение<i> f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i> = x </i>?

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> имеет <i>n</i> различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?

Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса<i> <img src="/storage/problem-media/109880/problem_109880_img_2.gif"> </i>с центрами в вершинах покрывают весь треугольник.

Назовем медианой системы 2<i> n </i>точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2<i> n </i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до<i> n </i>(<i> n></i>1), одинаково читаться слева направо и справа налево?