Олимпиадные задачи из источника «22 (1999), математика»

Таблица имеет форму квадрата со стороной длины <i>n</i>. В первой строчке таблицы стоит одно число – 1. Во второй – два числа – две двойки, в третьей – три четвёрки, и т.д.: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/107677/problem_107677_img_2.gif"></div>(здесь нарисован квадрат 4×4). В каждой следующей строчке стоит следующая степень двойки. Длина строчек сначала растёт, а затем убывает так, чтобы получился квадрат. Докажите, что сумма всех чисел таблицы есть квадрат некоторого целого числа.

Треугольник<i>ABC</i>вписан в окружность. Точка<i>D</i>— середина дуги<i>AC</i>, точки<i>K</i>и<i>L</i>выбраны на сторонах<i>AB</i>и<i>CB</i>соответственно так, что<i>KL</i>параллельна<i>AC</i>. Пусть<i>K</i>' и<i>L</i>' — точки пересечения прямых<i>DK</i>и<i>DL</i>соответственно с окружностью. Докажите, что вокруг четырехугольника<i>KLL</i>'<i>K</i>' можно описать окружность.

Шестью одинаковыми параллелограммами площади 1 оклеили кубик с ребром 1. Можно ли утверждать, что все параллелограммы — квадраты? Можно ли утверждать, что все они — прямоугольники?

Из всякого ли выпуклого четырехугольника можно вырезать параллелограмм, три вершины которого совпадают с тремя вершинами этого четырехугольника?

На клетчатой бумаге нарисована фигура (см. рис. 1): в верхнем ряду — одна клеточка, во втором сверху — три клеточки, в следующем ряду — 5 клеточек, и т.д., всего рядов —<i>n</i>. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа.<table> <tr><td>

_ ||_ ||||_ ||||||_ |||||||_| .....................

||||| ....... ||||| </pre> </td></tr> <tr><td>Рис. 1</td></tr> </table>

Подряд без пробелов выписали все чётные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?