Олимпиадные задачи из источника «09 (1986)» для 9-10 класса - сложность 2-5 с решениями
09 (1986)
Назада) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.
б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.
Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.
<i>a, b, c, d</i> – стороны четырёхугольника (в любом порядке), <i>S</i> – его площадь. Докажите, что <i>S</i> ≤ ½ (<i>ab + cd</i>).
Из шахматной доски вырезали одну угловую клетку. На какое наименьшее число равновеликих треугольников можно разрезать эту фигуру?
Докажите, что произведение ста последовательных натуральных чисел не может быть сотой степенью натурального числа.
"Крокодилом" называется фигура, ход которой заключается в прыжке на клетку, в которую можно попасть сдвигом на одну клетку по вертикали или горизонтали, а затем на <i>N</i> клеток в перпендикулярном направлении (при <i>N</i> = 2 "крокодил" – это шахматный конь).
При каких <i>N</i> "крокодил" может пройти с каждой клетки бесконечной шахматной доски на любую другую?
<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, <i>a</i><sub>4</sub>, <i>a</i><sub>5</sub>, <i>a</i><sub>6</sub> – последовательные стороны шестиугольника, все углы которого равны. Докажите, что <i>a</i><sub>1</sub> – <i>a</i><sub>4</sub> = <i>a</i><sub>3</sub> – <i>a</i><sub>6</sub> = <i>a</i><sub>5</sub> – <i>a</i><sub>2</sub>.
Точку внутри квадрата соединили с вершинами – получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15°. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный.
Отметьте несколько точек и несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три отмеченные прямые.
Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое место середин получившихся хорд.