Олимпиадные задачи из источника «09 (1986)» для 2-7 класса

В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.

Из шахматной доски вырезали одну угловую клетку. На какое наименьшее число равновеликих треугольников можно разрезать эту фигуру?

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>a</i>₄, <i>a</i>₅, <i>a</i>₆ – последовательные стороны шестиугольника, все углы которого равны. Докажите, что  <i>a</i>₁ – <i>a</i>₄ = <i>a</i>₃ – <i>a</i>₆ = <i>a</i>₅ – <i>a</i>₂.

Точку внутри квадрата соединили с вершинами – получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15°. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный.

Отметьте несколько точек и несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три отмеченные прямые.

Квадратная площадь размером 100×100 выложена квадратными плитами 1×1 четырёх цветов: белого, красного, чёрного и серого – так, что никакие две плиты одинакового цвета не соприкасаются друг с другом (то есть не имеют общей стороны или вершины). Сколько может быть красных плит?

Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?

Известно, что  <i>a + b + c</i> = 5  и  <i>ab + bc + ac</i> = 5.  Чему может равняться  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²?

В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости.

За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?

Найти две такие обыкновенные дроби – одну со знаменателем 8, другую со знаменателем 13, чтобы они не были равны, но разность между большей и меньшей из них была как можно меньше.

Бывают ли натуральные числа, произведение цифр которых равно 1986?