Олимпиадные задачи из источника «8 турнир (1986/1987 год)» для 10 класса - сложность 2-5 с решениями
Найдите геометрическом место ортоцентров (точек пересечения высот) всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> ≥ 2 справедливо неравенство: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97937/problem_97937_img_2.gif">.
В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.
(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).
Имеется много кубиков одинакового размера, раскрашенных в шесть цветов. При этом каждый кубик раскрашен во все шесть цветов, каждая грань – в какой-нибудь один свой цвет, но расположение цветов на разных кубиках может быть различным. Кубики выложены на стол, так что получился прямоугольник. Разрешается взять любой столбец этого прямоугольника, повернуть его вокруг длинной оси и положить на место. То же самое разрешается делать и со строками. Всегда ли можно с помощью таких операций добиться того, что все кубики будут смотреть вверх гранями одного и того же цвета?
На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через <i>a</i>, а до центров всех белых клеток – через <i>b</i>. Докажите, что <i>a = b</i>.
Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом – 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?
На окружности имеется 21 точка.
Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше ста таких, угловая мера которых не превышает 120°.
Клетки шахматной доски 8×8 как-то занумерованы числами от 1 до 32, причём каждое число использовано дважды. Докажите, что можно так выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдётся хотя бы по одной выбранной клетке.
В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.
Существует ли такое <i>N</i> и такие <i>N</i> – 1 бесконечных арифметических прогрессий с разностями 2, 3, 4, ..., <i>N</i>, что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?
Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел 1, 2, 3, ..., <i>n</i>. Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.