Олимпиадные задачи из источника «34 турнир (2012/2013 год)» - сложность 2 с решениями

а) Внутри окружности находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.

Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых. б) Внутри окружности находится правильный 2<i>n</i>-угольник  (<i>n</i> > 2),  его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины 2<i>n</i>-угольника, высекают 2<i>n</i> точек на окружности. 2<i>n</i>-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2<i>n</i> новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2<i>n</i> точек....

В числе не меньше 10 разрядов, в его записи используются только две разные цифры, причём одинаковые цифры не стоят рядом.

На какую наибольшую степень двойки может делиться такое число?

Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:

   а) равные многоугольники;

   б) правильные многоугольники?

В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовал хотя бы один школьник этого класса.

Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в ¹/₂₀ всех экскурсий.

Окружность касается сторон <i>AB, BC, CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> соответственно.

Докажите, что прямая <i>KL</i> делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины <i>C</i> на <i>AB</i>.

Таблица 10×10 заполняется по правилам игры "Сапёр": в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все "старые" мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?

Пусть <i>C</i>(<i>n</i>) – количество различных простых делителей числа <i>n</i>. (Например,  <i>C</i>(10) = 2,  <i>C</i>(11) = 1,  <i>C</i>(12) = 2.)

Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (<i>a, b</i>),  что  <i>a ≠ b</i>  и  <i>C</i>(<i>a + b</i>) = <i>C</i>(<i>a</i>) + <i>C</i>(<i>b</i>)?

Про группу из пяти человек известно, что:    Алеша на 1 год старше Алексеева,

   Боря на 2 года старше Борисова,

   Вася на 3 года старше Васильева,

   Гриша на 4 года старше Григорьева,

   а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев.Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?

На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.

Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?

Имеются 100 камней разного веса (одинаковых нет), к каждому приклеена этикетка с указанием его веса. Хулиган Гриша хочет переклеить этикетки так, чтобы общий вес любого набора с числом камней от 1 до 99 отличался от суммы весов, указанных на этикетках из этого набора. Всегда ли он может это сделать?

На доске 8×8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во <i>владения</i> этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдаётся этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.

Одной операцией к числу можно либо прибавить 9, либо стереть в нём в любом месте цифру 1.

Из любого ли натурального числа <i>A</i> при помощи таких операций можно получить число <i>A</i> + 1?

(Если стирается единица в самом начале числа, а за ней сразу идут нули, то эти нули тоже стираются.)

На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?

На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. Затем по одному пришли ещё 20 детей, и каждый садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовём девочку <i>отважной</i>, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика – <i>отважным</i>, если он садился между двумя соседними девочками. В итоге оказалось, что мальчики и девочки на скамейке чередуются. Можно ли наверняка сказать, сколько отважных среди детей на скамейке?

Можно ли в клетках таблицы 19×19 отметить несколько клеток так, чтобы во всех квадратах 10×10 было разное количество отмеченных клеток?

Двадцать детей – десять мальчиков и десять девочек – встали в ряд. Каждый мальчик сказал, сколько детей стоит справа от него, а каждая девочка – сколько детей стоит слева от неё. Докажите, что сумма чисел, названных мальчиками, равна сумме чисел, названных девочками.

По кругу расставили 1000 чисел, среди которых нет нулей, и раскрасили их поочередно в белый и чёрный цвета. Оказалось, что каждое чёрное число равно сумме двух соседних с ним белых чисел, а каждое белое число равно произведению двух соседних с ним чёрных чисел. Чему может быть равна сумма всех расставленных чисел?