Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс»
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
НазадНа доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?
В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Команда гуманитарных классов состоит из <i>n</i> человек, команда математических – из <i>m</i>, причём <i>n</i> ≠ <i>m</i>. Так как стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в одну общую очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, который становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.
Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности прямоугольного треугольника <i>ABC</i>, касающейся катетов <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i><sub>0</sub> и <i>A</i><sub>0</sub> соответственно. Перпендикуляр, опущенный из <i>A</i><sub>0</sub> на прямую <i>AI</i>, и перпендикуляр, опущенный из <i>B</i><sub>0</sub> на прямую <i>BI</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>CP</i> и <i>AB</i> перпендикулярны.
Можно ли в клетках таблицы 19×19 отметить несколько клеток так, чтобы во всех квадратах 10×10 было разное количество отмеченных клеток?
Двадцать детей – десять мальчиков и десять девочек – встали в ряд. Каждый мальчик сказал, сколько детей стоит справа от него, а каждая девочка – сколько детей стоит слева от неё. Докажите, что сумма чисел, названных мальчиками, равна сумме чисел, названных девочками.
Будем называть точку плоскости <i>узлом</i>, если обе её координаты – целые числа. Внутри некоторого треугольника с вершинами в узлах лежит ровно два узла (возможно, какие-то еще узлы лежат на его сторонах). Докажите, что прямая, проходящая через эти два узла, либо проходит через одну из вершин треугольника, либо параллельна одной из его сторон.
По кругу расставили 1000 чисел, среди которых нет нулей, и раскрасили их поочередно в белый и чёрный цвета. Оказалось, что каждое чёрное число равно сумме двух соседних с ним белых чисел, а каждое белое число равно произведению двух соседних с ним чёрных чисел. Чему может быть равна сумма всех расставленных чисел?