Олимпиадные задачи из источника «28 турнир (2006/2007 год)» - сложность 4 с решениями

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> стороны <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> равны, <i>M</i> – середина стороны <i>AD</i>. Известно, что  ∠<i>BMC</i> = 90°.

Найдите угол между диагоналями четырёхугольника <i>ABCD</i>.

Стороны треугольника <i>ABC</i> видны из точки <i>T</i> под углами 120°. Докажите, что прямые, симметричные прямым <i>AT, BT</i> и <i>CT</i> относительно прямых <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно, пересекаются в одной точке.

Положительные числа <i>х</i>₁, ..., <i>х_k</i> удовлетворяют неравенствам   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109199/problem_109199_img_2.gif">

  а) Докажите, что  <i>k</i> > 50.

  б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь <i>k</i>.

  в) Найти минимальное <i>k</i>, для которого пример возможен.

Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно

  а) делится на 12!;

  б) делится на 13!.

У ведущего есть колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (при этом не уточняя   сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать ведущему вопросы вида "Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?". Один из зрителей подсмотрел, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в колоде?

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.

  а) Докажите, что  α_<i>n</i> < ³/₁₆  для некоторого <i>n</i> .

  б) Может ли случиться, что  α_<i>n</i> > ⁷/₄₀  при всех натуральных <i>n</i>?