Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс»
осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
НазадПоложительные числа <i>х</i><sub>1</sub>, ..., <i>х<sub>k</sub></i> удовлетворяют неравенствам <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109199/problem_109199_img_2.gif">
а) Докажите, что <i>k</i> > 50.
б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь <i>k</i>.
в) Найти минимальное <i>k</i>, для которого пример возможен.
Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно
а) делится на 12!;
б) делится на 13!.
Можно ли разбить какую-нибудь призму на непересекающиеся пирамиды, у каждой из которых основание лежит на одном из оснований призмы, а противоположная вершина – на другом основании призмы?
В числе <i>a</i> = 0,12457... <i>n</i>-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109196/problem_109196_img_2.gif"> Докажите, что α – иррациональное число.
На сторонах <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> так, что лучи <i>A</i><sub>1</sub><i>A, B</i><sub>1</sub><i>B</i> и <i>С</i><sub>1</sub><i>C</i> являются биссектрисами углов треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>СС</i><sub>1</sub> – высоты тре...
Пусть <img width="120" height="41" align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109193/problem_109193_img_2.gif"> = <img width="23" height="47" align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109193/problem_109193_img_3.gif">, где <img width="23" height="47" align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109193/problem_109193_img_3.gif"> – несократимая дробь.
Докажите, что неравенство <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> < <i>b<sub>n</sub></i> выполнено для бесконечного числа натуральных <i>n</i>.
Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причём хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых – нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением.)