Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс»

а) Торт имеет форму тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в 2 раза больше одного из острых углов. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку? б) Та же задача для торта, имеющего форму треугольника с углами 20°, 30°, 130°. (Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)

Последовательность нулей и единиц строится следующим образом: на <i>k</i>-м месте ставится ноль, если сумма цифр числа <i>k</i> чётна, и единица, если сумма цифр числа <i>k</i> нечётна. Докажите, что эта последовательность непериодична.

Прямая касается окружности в точке <i>A</i>. На прямой выбрали точку <i>B</i> и повернули отрезок <i>AB</i> на некоторый угол вокруг центра окружности, получив отрезок <i>A'B'</i>. Докажите, что прямая, проходящая через точки касания <i>A</i> и <i>A'</i>, делит пополам отрезок <i>BB'</i>.

Многочлен  <i>x</i>³ + <i>px</i>² + <i>qx + r</i>  имеет на интервале  (0, 2)  три корня. Докажите, что  – 2 < <i>p + q + r</i> < 0.

Клетки доски 9×9 раскрасили в шахматном порядке в чёрный и белый цвета (угловые клетки белые). Какое наименьшее число ладей нужно поставить на эту доску, чтобы все белые клетки оказались под боем этих ладей? (Под боем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в которых находится ладья.)