Олимпиадные задачи из источника «27 турнир (2005/2006 год)» для 6-8 класса - сложность 2 с решениями
27 турнир (2005/2006 год)
НазадУ Пети есть <i>n</i>³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i>, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при a) <i>n</i> = 3; б) <i>n</i> = 1000.
У Пети есть <i>n</i>³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i>, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при a) <i>n</i> = 2; б) <i>n</i> = 3.
Известно, что число <i>a</i> положительно, а неравенство 1 < <i>xa</i> < 2 имеет ровно три решения в целых числах.
Сколько решений в целых числах может иметь неравенство 2 < <i>xa</i> < 3 ?
В клетках первого столбца таблицы <i>n</i>×<i>n</i> записаны единицы, в клетках второго – двойки, ..., в клетках <i>n</i>-го – числа <i>n</i>. Числа на диагонали, соединяющей левое верхнее число с правым нижним, стёрли. Докажите, что суммы чисел по разные стороны от этой диагонали отличаются ровно в два раза.
В треугольнике <i>ABC</i> ∠<i>A</i> = 60°. Серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>M</i>. Докажите, что <i>CB = MN</i>.
Палиндром – это натуральное число, которое читается одинаково слева направо и справа налево (например, 1, 343 и 2002 палиндромы).
Найдутся ли 2005 пар вида (<i>n, n</i> + 110), где оба числа – палиндромы?
Отрезок единичной длины разбили на 11 отрезков, длина каждого из которых не превосходит <i>а</i>.
При каких значениях <i>а</i> можно утверждать, что из любых трёх получившихся отрезков можно составить треугольник?
В каждой вершине куба записано по числу. Вместо каждого числа записывают среднее арифметическое чисел, стоящих в трёх соседних вершинах (числа заменяют одновременно). После десяти таких операций в каждой вершине оказалось исходное число. Обязательно ли все исходные числа были одинаковы?
Дан треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>M</i><sub>1</sub>, <i>M</i><sub>2</sub>, <i>M</i><sub>3</sub> – середины сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i>, a точки <i>H</i><sub>1</sub>, <i>H</i><sub>2</sub>, <i>H</i><sub>3</sub> – основания высот, лежащие на тех же сторонах.
Докажите, что из отрезков <i>H</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>2</sub>, <i>H</i><sub>2</sub><i>M</i><sub>3</sub> и <i>H</i><sub>3</sub><i>M</i><sub>1</sub> можно построить треугольник.