Олимпиадная задача: Чётность чисел отрезков в треугольниках квадрата — 10-11 класс
Задача
Внутри квадрата отметили несколько точек и соединили их отрезками между собой и с вершинами квадрата так, чтобы отрезки не пересекались друг с другом (нигде кроме концов). В результате квадрат разделился на треугольники, так что все отмеченные точки оказались в вершинах треугольников, и ни одна не попала на стороны треугольников. Для каждой отмеченной точки и для каждой вершины квадрата подсчитали число проведённых из неё отрезков. Могло ли так случиться, что все эти числа оказались чётными?
Решение
Вершины квадрата также будем считать отмеченными, а стороны – "проведёнными" отрезками. Пусть из каждой отмеченной точки выходит чётное число отрезков.
1) Повернём картинку так, чтобы среди сторон треугольников не было вертикальных. Возьмём внутри треугольника разбиения произвольную точку и выпустим из неё луч вверх. Когда на луче нет отмеченных точек, назовём степенью луча число пересечённых им отрезков.
Докажем, что степени всех выпущенных из треугольника T лучей имеют одну чётность. Для доказательства будем двигать луч l так, чтобы его начало двигалось от самой левой вершины треугольника T к самой правой. Степень l меняется, только когда l проходит через какую-то отмеченную точку K. Отрезки из K выходят одни налево, другие направо; l всегда пересекает ровно одну из этих групп. Но всего из K выходит чётное число отрезков, поэтому чётности групп одинаковы, и значит, чётность степени l не изменяется.
Назовём чётностью треугольника чётность степени любого выпущенного из него луча (согласно предыдущему абзацу определение корректно).
2) Ясно, что треугольники с общей стороной имеют разную чётность. А все треугольники, примыкающие к сторонам исходного квадрата, нечётны (достаточно рассмотреть луч из точки, "близкой" к самой левой или самой правой вершине квадрата).
Отсюда следует, что нечётные треугольники в совокупности имеют на 4 стороны больше, чем чётные. Но это невозможно: число сторон треугольников каждой чётности в три раза больше числа таких треугольников, то есть кратно 3.
Ответ
Не могло.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь