Олимпиадная задача по многочленам для 10-11 класса от Френкина Б. Р.
Задача
Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел a1, a2, a3, ... такова, что
P(a1) = 0, P(a2) = a1, P(a3) = a2, и т.д. Какую степень может иметь P(x)?
Решение
Константа, очевидно, не удовлетворяет условию.
Годится, например, многочлен P(x) = x – 1.
Заметим, что старший коэффициент многочлена P положителен (иначе, P(x) < 0 при достаточно больших положительных х, и количество положительных значений в натуральных точках конечно). Если степень P выше первой, то и у многочлена P(x) – x старший коэффициент положителен, поэтому найдётся такое натуральное N, что P(x) > x для каждого x ∈ N. Пусть указанная последовательность существует. Начиная с некоторого номера члены, меньшие N, закончатся, то есть найдётся такое n, что ak ≥ N при всех k > n. Тогда an = P(an+1) > an+1, an+1 = P(an+2) > an+2, ..., то есть
an > an+1 > an+2 > ... – бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно.
Ответ
Только первую степень.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь