Олимпиадные задачи из источника «18 турнир (1996/1997 год)» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

Около правильного тетраэдра <i>ABCD</i> описана сфера. На его гранях как на основаниях построены во внешнюю сторону правильные пирамиды <i>ABCD', ABDC', ACDB', BCDA'</i>, вершины которых лежат на этой сфере. Найдите угол между плоскостями <i>ABC'</i> и <i>ACD'</i>.

Центр круга – точка с декартовыми координатами  (<i>a, b</i>).  Известно, что начало координат лежит внутри круга. Обозначим через <i>S</i>⁺ общую площадь частей круга, состоящих из точек, обе координаты которых имеют одинаковый знак; а через <i>S</i>^– – площадь частей, состоящих из точек с координатами разных знаков. Найдите величину  <i>S</i>⁺ – <i>S</i>^–.

Пусть <i>A', B', C', D', E', F'</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, DE, EF, FA</i> произвольного выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>. Известны площади треугольников <i>ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'</i>. Найдите площадь шестиугольника <i>ABCDEF</i>.

На координатной плоскости <i>xOy</i> построена парабола  <i>y = x</i>².  Затем начало координат и оси стёрли.

Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер  <i>a, b, c</i>  этого куба.

Существует ли такое шестизначное число <i>A</i>, что среди чисел  <i>A</i>, 2<i>A</i>, ..., 500000<i>A</i>  нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?

Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?