Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс»
осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
НазадВо вписанном четырёхугольнике <i>ABCD</i> длины сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна ½ <i>AC</i>² sin∠<i>A</i>.
Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.
а) Докажите, что число её членов меньше 100.
б) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.
Пусть <i>M</i> – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника <i>ABC</i>. При повороте на 120° вокруг точки <i>M</i> точка <i>B</i> переходит в точку <i>P</i>, при повороте на 240° вокруг точки <i>M</i> (в том же направлении) точка <i>C</i> переходит в точку <i>Q</i>. Докажите, что либо треугольник <i>APQ</i> – правильный, либо точки <i>A, P, Q</i> совпадают.
Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
3) среди чисел нет равных;
4) все числа не больше 1991?
Можно ли разрезать плоскость на многоугольники, каждый из которых переходит в себя при повороте на <sup>360°</sup>/<sub>7</sub> вокруг некоторой точки и все стороны которых больше 1 см?
<i>n</i> школьников хотят разделить поровну <i>m</i> одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.
а) При каких <i>n</i> это возможно, если <i>m</i> = 9?
б) При каких <i>n</i> и <i>m</i> это возможно?
Последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} определяется правилами: <i>a</i><sub>0</sub> = 9, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/35392/problem_35392_img_2.gif"> .
Докажите, что в десятичной записи числа <i>a</i><sub>10</sub> содержится не менее 1000 девяток.