Олимпиадные задачи из источника «XX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2024 г.)» для 8 класса - сложность 1-4 с решениями

Общие касательные к описанной и вневписанной окружностям треугольника $ABC$ пересекают прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $A_2$, $B_2$, $C_2$ соответственно. Треугольник $\Delta_1$ образован прямыми $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, а треугольник $\Delta_2$ – прямыми $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$. Докажите, что радиусы описанных окружностей этих треугольников равны.

На одной из медиан треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Докажите, что на другой медиане найдется такая точка $Q$, что $\angle QBA=\angle QCB=\angle QAC$.

В прямоугольный треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся гипотенузы $AB$ в точке $T$. Квадраты $ATMP$ и $BTNQ$ лежат вне треугольника. Докажите, что площади треугольников $ABC$ и $TPQ$ равны.

Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Биссектриса угла $ABD$ пересекает диагональ $AC$ в точке $E$, а биссектриса угла $ACD$ – диагональ $BD$ в точке $F$. Докажите, что прямые $AF$ и $DE$ пересекаются на медиане треугольника $APD$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) $O$ – центр описанной окружности, $H$ – ортоцентр, $P$ – такая точка внутри треугольника, что $\angle APH=\angle BPO=\pi/2$. Докажите, что $\angle PAC=\angle PBA=\angle PCB$.

Для каких $n>0$ можно отметить на плоскости несколько различных точек и несколько различных окружностей так, чтобы были выполнены следующие условия: - через каждую отмеченную точку проходит ровно $n$ отмеченных окружностей;

• на каждой отмеченной окружности лежит ровно $n$ отмеченных точек;
• у каждой отмеченной окружности отмечен еe центр?

В остроугольном треугольнике $ABC$ $H$ – ортоцентр; $A_1$, $B_1$, $C_1$ – точки касания вписанной окружности с $BC$, $CA$, $AB$ соответственно; $E_A$, $E_B$, $E_C$ – середины $AH$, $BH$, $CH$ соответственно; окружность с центром $E_A$, проходящая через $A$, повторно пересекает биссектрису угла $A$ в точке $A_2$; точки $B_2$, $C_2$ определены аналогично. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.

Из картона вырезали два многоугольника. Может ли быть, что при любом их расположении на плоскости они либо имеют общие внутренние точки, либо пересекаются по конечному множеству точек?

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Прямая $l \parallel AC$ пересекает прямые $AD, BC, AB, CD$ в точках $X, Y, Z, T$. Описанные окружности треугольников $XYB$ и $ZTB$ вторично пересекаются в точке $R$. Докажите, что $R$ лежит на прямой $BD$.

Окружность $\omega$ касается прямых $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Произвольная касательная к $\omega$ пересекает $a$ и $b$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Точки $X'$ и $Y'$ симметричны точкам $X$ и $Y$ относительно $A$ и $B$ соответственно. Найдите геометрическое место проекций центра окружности на $X'Y'$.

Вершины $M$, $N$, $K$ прямоугольника $KLMN$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $CA$ соответственно правильного треугольника $ABC$ так, что $AM=2$, $KC=1$, а вершина $L$ лежит вне треугольника. Найдите угол $KMN$.

Из бумаги вырезан квадрат, сторона которого равна 1. Сделав не больше 20 сгибов, постройте отрезок длины 1/2024. Никаких инструментов нет, можно только сгибать бумагу по прямым и отмечать точки пересечения линий сгиба.

В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ – основание высоты из вершины $A$, $A'$ – точка описанной окружности, диаметрально противоположная $A$. На отрезке $AD$ выбрана точка $P$, а на отрезках $AB$ и $AC$ точки $X$ и $Y$ так, что $\angle CBP=\angle ADY$, $\angle BCP=\angle ADX$. Пусть $PA'$ пересекает $BC$ в точке $T$. Докажите, что $D$, $X$, $Y$, $T$ лежат на одной окружности.

В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.

Даны окружность $\omega$ с центром $O$ и точка $P$ внутри нее. Пусть $X$ – произвольная точка $\omega$, прямая $XP$ и окружность $XOP$ пересекают $\omega$ во второй раз в точках $X_1$, $X_2$ соответственно. Докажите, что все прямые $X_1X_2$ параллельны друг другу.

На плоскости начерчены треугольник $ABC$, описанная около него окружность и центр $I$ его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.

Верно ли, что любой многоугольник можно разрезать на равнобокие трапеции?

Биссектрисы $AA_1$, $CC_1$ треугольника $ABC$, в котором $\angle B=60^{\circ}$, пересекаются в точке $I$. Описанные окружности треугольников $ABC$, $A_1IC_1$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ проходит через середину стороны $AC$.

В треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$ – середины сторон $AB$, $AC$ соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе $AL$ пересекает биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PM$ и $QN$ пересекаются на касательной к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Точка $T$ на прямой $BC$ выбрана так, что прямая $AT$ касается $\omega$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$, а окружность $\omega$ в точке $A_0$. Прямая $TA_0$ пересекает $\omega$ в точке $P$. Точка $K$ на отрезке $BC$ такова, что $BL=CK$. Докажите, что $\angle BAP=\angle CAK$.

В трапецию $ABCD$ ($AD\parallel BC$) вписана окружность $\omega$, которая касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $P$ параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую $QR$ в точке $X$. Докажите, что прямые $AB$, $QS$ и $DX$ пересекаются в одной точке.

Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

Даны окружность $\omega$ и точки $A$ и $B$ на ней. Пусть $C$ – произвольная точка на одной из дуг $AB$ этой окружности, $CL$ – биссектриса треугольника $ABC$, окружность $BCL$ пересекает $AC$ в $E$, а $CL$ пересекает $BE$ в $F$. Найдите геометрическое место центров окружностей $AFC$.

Точки $A'$, $B'$, $C'$ соответственно симметричны вершинам $A$, $B$, $C$ относительно противоположных сторон треугольника $ABC$. Докажите, что окружности $AB'C'$, $A'BC'$ и $A'B'C$ пересекаются в одной точке.

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, $P$ – произвольная точка этой окружности. Прямая $AP$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $AB_1C_1$ в точке $A_2$. Аналогично строятся точки $B_2$ и $C_2$. Докажите, что описанная около треугольника $A_2B_2C_2$ окружность касается $\omega$.