Задача
Вершины $M$, $N$, $K$ прямоугольника $KLMN$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $CA$ соответственно правильного треугольника $ABC$ так, что $AM=2$, $KC=1$, а вершина $L$ лежит вне треугольника. Найдите угол $KMN$.
Решение
Возьмем на стороне $BC$ точку $N'$ такую, что $CN'=2$. Очевидно, что $MN'\parallel AC$. Кроме того, поскольку $CN'=2CK$ и $\angle N'CK=60^{\circ}$, треугольник $CKN'$ – прямоугольный, следовательно, $\angle MN'K=\angle MNK=90^{\circ}$. При этом $N\not=N'$, поскольку в противном случае точка $L$ лежала бы на стороне $AC$. Так как точки $N$ и $N'$ лежат на окружности с диаметром $MK$, то $\angle MKN=\angle MN'N=60^{\circ}$. Соответственно $\angle KMN=30^{\circ}$.
Ответ
$30^{\circ}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет