Олимпиадные задачи из источника «XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)» для 8 класса - сложность 2 с решениями
XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)
НазадОстроугольный треугольник разбили медианой на два меньших треугольника.
Докажите, что каждый из них можно накрыть полукругом, равным половинке описанного круга исходного треугольника.
Правильный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Прямая <i>l</i>, проходящая через середину стороны <i>AB</i> и параллельная <i>AC</i>, пересекает дугу <i>AB</i>, не содержащую <i>C</i>, в точке <i>K</i>. Докажите, что отношение <i>AK</i> : <i>BK</i> равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.
Дан квадрат <i>ABCD</i>. Первая окружность касается сторон угла <i>A</i>, вторая – сторон угла <i>B</i>, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону <i>AB</i> в её середине.
В треугольнике <i>ABC</i> проведена медиана <i>CF</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> симметричны <i>F</i> относительно медиан <i>AD</i> и <i>BE</i> соответственно.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>BEX</i> и <i>ADY</i> совпадают.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>H</i> и <i>O</i> – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>BH</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>OB</i> – биссектриса угла <i>A</i><sub>1</sub><i>OC</i><sub>1</sub>.
Четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором <i>AB = BC</i> и <i>AD = CD</i>, вписан в окружность. Точка <i>M</i> лежит на меньшей дуге <i>CD</i> этой окружности. Прямые <i>BM</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>AM</i> и <i>BD</i> – в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>PQ || AC</i>.
На окружности радиуса <i>R</i> с диаметром <i>AD</i> и центром <i>O</i> выбраны точки <i>B</i> и <i>С</i> по одну сторону от этого диаметра. Около треугольников <i>ABO</i> и <i>CDO</i> описаны окружности, пересекающие отрезок <i>BC</i> в точках <i>F</i> и <i>E</i>. Докажите, что <i>AF·DE = R</i>².
Дана трапеция <i>ABCD</i> с основанием <i>AD</i>. Центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на прямой <i>BD</i>.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABD</i> лежит на прямой <i>AC</i>.
На плоскости дан отрезок <i>AB</i>. Рассмотрим всевозможные остроугольные треугольники со стороной <i>AB</i>. Найдите геометрическое место
а) вершин их наибольших углов;
б) их центров вписанных окружностей.
Дан треугольник <i>ABC</i>. На стороне <i>AB</i> как на основании построен во внешнюю сторону равнобедренный треугольник <i>ABC'</i> с углом при вершине 120°, а на стороне <i>AC</i> построен во внутреннюю сторону правильный треугольник <i>ACB'</i>. Точка <i>K</i> – середина отрезка <i>BB'</i>. Найдите углы треугольника <i>KCC'</i>.
Окружность отсекает от прямоугольника <i>ABCD</i> четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых <i>A</i><sub>0</sub>, <i>B</i><sub>0</sub>, <i>C</i><sub>0</sub> и <i>D</i><sub>0</sub> соответственно.
Докажите, что отрезки <i>A</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>0</sub> и <i>B</i><sub>0</sub><i>D</i><sub>0</sub> равны.
Нарисуйте на клетчатой бумаге четырёхугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого – различные простые числа.