Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 2-10 класса - сложность 3 с решениями
XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)
НазадДан неравнобедренный треугольник <i>ABC, AA</i><sub>1</sub> – его биссектриса, <i>A</i><sub>2</sub> – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>. Аналогично определяются точки <i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника, <i>I</i> – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников <i>AA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub&...
Постройте треугольник по вершине <i>A</i>, центру <i>O</i> описанной окружности и <i>точке Лемуана L</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>K</i> – основание биссектрисы внешнего угла <i>A</i>. Точка <i>M</i> – середина дуги <i>AC</i> описанной окружности. Точка <i>N</i> выбрана на биссектрисе угла <i>C</i> так, что <i>AN || BM</i>. Докажите, что точки <i>M, N</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.
Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму <i>s</i> и называет 97 троек {<i>i, j, k</i>}, где <i>i, j, k</i> – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>100</sub> с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников <i>A<sub>i</sub>A<sub>j</sub>A<sub>k</sub></i>. При каком наибольшем <i>s</i> Человеку выгодно согласиться?
Даны два треугольника <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i>, имеющие общие описанную и вписанную окружности, и точка <i>P</i>, лежащая внутри обоих треугольников.
Докажите, что сумма расстояний от <i>P</i> до сторон треугольника <i>ABC</i> равна сумме расстояний от <i>P</i> до сторон треугольника <i>A'B'C'</i>.
В треугольнике<i>ABC I</i>и<i>I<sub>a</sub></i>– центры вписанной и вневписанной окружностей,<i>A'</i>точка описанной окружности, диаметрально противоположная<i>A, AA</i><sub>1</sub>– высота. Докажите, что ∠<i>IA'I<sub>a</sub></i>= ∠<i>IA</i><sub>1</sub><i>I<sub>a</sub></i>.
Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник.
В треугольнике <i>ABC O</i> – центр описанной окружности, <i>I</i> – центр вписанной. Прямая, проходящая через <i>I</i> и перпендикулярная <i>OI</i>, пересекает <i>AB</i> в точке <i>X</i>, а внешнюю биссектрису угла <i>C</i> – в точке <i>Y</i>. В каком отношении <i>I</i> делит отрезок <i>XY</i>?
Пусть <i>H</i> – ортоцентр остроугольного треугольника <i>ABC</i>. На касательной в точке <i>H</i> к описанной окружности ω<sub><i>A</i></sub> треугольника <i>BHC</i> взята точка <i>X<sub>A</sub></i>, что <i>AH = AX<sub>A</sub></i> и <i>H ≠ X<sub>A</sub></i>. Аналогично определены точки <i>X<sub>B</sub></i> и <i>X<sub>C</sub></i>. Докажите, что треугольник <i>X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub></i> и ортотреугольник треугольника <i>ABC</i> подобны.
В точке <i>X</i> сидит преступник, а три полицейских, находящихся в точках <i>A, B</i> и <i>C</i>, блокируют его, то есть точка <i>X</i> лежит внутри треугольника <i>ABC</i>. Новый полицейский сменяет одного из них следующим образом: он занимает точку, равноудаленную от всех трёх полицейских, после чего один из троих уходит, и оставшаяся тройка по-прежнему блокирует преступника. Так происходит каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки <i>A, B</i> и <i>C</i> (известно, что точка <i>X</i> ни разу не попала на сторону треугольника)?
Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> равны и пересекаются в точке <i>O</i>. Серединные перпендикуляры к сторонам <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а серединные перпендикуляры к сторонам <i>BC</i> и <i>AD</i> – в точке <i>Q</i>. Найдите угол <i>POQ</i>.
Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?
Даны трапеция <i>ABCD</i> и перпендикулярная её основаниям <i>AD</i> и <i>BC</i> прямая <i>l</i>. По <i>l</i> движется точка <i>X</i>. Перпендикуляры, опущенные из <i>A</i> на <i>BX</i> и из <i>D</i> на <i>CX</i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Найдите ГМТ <i>Y</i>.
Описанная окружность треугольника <i>ABC</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Пусть <i>M</i> – середина дуги <i>KL</i>, не содержащей точку <i>B</i>. Докажите, что <i>DM</i> ⊥ <i>AC</i>.
Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны <i>a, b, c</i> и <i>d</i>. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)
Пусть <i>M<sub>A</sub>, M<sub>B</sub>, M<sub>C</sub></i> – середины сторон неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точки <i>H<sub>A</sub>, H<sub>B</sub>, H<sub>C</sub></i>, отличные от <i>M<sub>A</sub>, M<sub>B</sub>, M<sub>C</sub></i>, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что <i>M<sub>A</sub>H<sub>B</sub> = M<sub>A</sub>H<sub>C</sub>, M<sub>B</sub>H<sub>A</sub> = M<sub>B</sub>H<sub>C</sub>, M<sub>C</sub>H<sub>A</sub> = M<sub>C</sub>H<sub>B</sub></i>. Докажите, что <...
Вписанная окружность ω треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i><sub>0</sub>, <i>B</i><sub>0</sub> и <i>C</i><sub>0</sub> соответственно. Биссектрисы углов <i>B</i> и <i>C</i> пересекают серединный перпендикуляр к отрезку <i>AA</i><sub>0</sub> в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>PC</i><sub>0</sub> и <i>QB</i><sub>0</sub> пересекаются на окружности ω.
Правильный шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> выбраны на касательных, проведённых к этой окружности в точках <i>A</i> и <i>D</i> соответственно, так, что прямая <i>PQ</i> касается меньшей дуги <i>EF</i> этой окружности. Найдите угол между прямыми <i>PB</i> и <i>QC</i>.
На стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> взята произвольная точка <i>D</i>. Через <i>D</i> и <i>A</i> проведены окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> так, что прямая <i>BA</i> касается ω<sub>1</sub>, прямая <i>CA</i> касается ω<sub>2</sub>. <i>BX</i> – вторая касательная, проведённая из точки <i>B</i> к окружности ω<sub>1</sub>, <i>CY</i> – вторая касательная, проведённая из точки <i>C</i> к окружности ω<sub>2</sub>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>XDY</i> касается прямой <i>BC</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая прямые <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>L<sub>a</sub>, L<sub>b</sub>, L<sub>c</sub></i>. Перпендикуляр, восставленный из точки <i>L<sub>a</sub></i> к <i>BC</i>, пересекает <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A<sub>b</sub></i> и <i>A<sub>c</sub></i> соответственно. Точка <i>O<sub>a</sub></i> – центр описанной окружности треугольника <i>AA<sub>b</sub>A<sub>c</sub></i>. Аналогично определим <i>O<sub>b</sub></i> и <i>O<sub>c</sub></i>. Докажите,...
По стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> движется точка <i>X</i>, а по описанной окружности Ω – точка <i>Y</i> так, что прямая <i>XY</i> проходит через середину дуги <i>AB</i>. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников <i>IXY</i>, где <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
В некотором выпуклом <i>n</i>-угольнике (<i>n</i> > 3) все расстояния между вершинами различны.
а) Назовём вершину <i>неинтересной</i>, если самая близкая к ней вершина – соседняя с ней. Каково наименьшее возможное количество неинтересных вершин (при данном <i>n</i>)?
б) Назовём вершину <i>необычной</i>, если самая дальняя от неё вершина – соседняя с ней. Каково наибольшее возможное количество необычных вершин (при данном <i>n</i>)?
В четырёхугольнике <i>ABCD AB = CD, M</i> и <i>K</i> – середины <i>BC</i> и <i>AD</i>. Докажите, что угол между <i>MK</i> и <i>AC</i> равен полусумме углов <i>BAC</i> и <i>DCA</i>.