Олимпиадные задачи из источника «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)» для 8 класса - сложность 3 с решениями
XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)
НазадЧетырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность ω с центром <i>O, M</i><sub>1</sub> и <i>M</i><sub>2</sub> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно; Ω – описанная окружность треугольника <i>OM</i><sub>1</sub><i>M</i><sub>2</sub>, <i>X</i><sub>1</sub> и <i>X</i><sub>2</sub> – точки пересечения ω с Ω, а <i>Y</i><sub>1</sub> и <i>Y</i><sub>2</sub> – вторые точки пересечения описанных окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> треугольников <i>CDM</i><sub>1</sub> и <i>ABM</i><sub>2</sub&g...
На стороне <i>AD</i> квадрата <i>ABCD</i> во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник <i>AED</i>. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр <i>AF</i>, на стороне <i>CD</i> выбрана точка <i>G</i> так, что <i>CG = DF</i>. Докажите, что угол <i>BGE</i> меньше половины угла <i>AED</i>.
На сторонах <i>AB</i>, <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>C</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно, что <i>BB</i><sub>1</sub> ⊥ <i>CC</i><sub>1</sub>. Точка <i>X</i> внутри треугольника такова, что
∠<i>XBC</i> = ∠<i>B</i><sub>1</sub><i>BA</i>, ∠<i>XCB</i> = ∠<i>C</i><sub>1</sub><i>CA</i>. Докажите, что ∠<i>B</i><sub>1</sub><i>XC</i><sub>1</sub> = 90° – ∠<i>A</i>.
На стороне <i>AB</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>M</i>, что четырёхугольники <i>AMCD</i> и <i>BMDC</i> описаны около окружностей с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> соответственно. Прямая <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub> отсекает от угла <i>CMD</i> равнобедренный треугольник с вершиной <i>M</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> вписанный.
Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.
В треугольнике <i>ABC AB = BC</i>, ∠<i>B</i> = 20°. Точка <i>M</i> на основании <i>AC</i> такова, что <i>AM</i> : <i>MC</i> = 1 : 2, точка <i>H</i> – проекция <i>C</i> на <i>BM</i>. Найдите угол <i>AHB</i>.
Окружность, проходящая через вершины <i>A, B</i> и точку пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> во внутренних точках.
Докажите, что 60° < ∠<i>C</i> < 90°.