Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» для 4-10 класса - сложность 4 с решениями
X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)
НазадВ четырёхугольнике <i>ABCD</i> вписанная окружность ω касается сторон <i>BC</i> и <i>DA</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Оказалось, что прямые <i>AB, FE</i> и <i>CD</i> пересекаются в одной точке <i>S</i>. Описанные окружности Ω и Ω<sub>1</sub> треугольников <i>AED</i> и <i>BFC</i>, вторично пересекают окружность ω в точках <i>E</i><sub>1</sub> и <i>F</i><sub>1</sub>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>E</i><sub>1</sub><i>F</i><sub>1</sub> параллельны.
Дан четырёхугольник <i>KLMN</i>. Окружность с центром <i>O</i> пересекает его сторону <i>KL</i> в точках <i>A</i> и <i>A</i><sub>1</sub>, сторону <i>LM</i> в точках <i>B</i> и <i>B</i><sub>1</sub>, и т.д. Докажите что
а) если описанные окружности треугольников <i>KDA, LAB, MBC</i> и <i>NCD</i> пересекаются в одной точке <i>P</i>, то описанные окружности треугольников <i>KD</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>, <i>LA</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, <i>MB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub&g...
Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>AIC</i> в точках <i>A, C</i> пересекаются в точке <i>X</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>BID</i> в точках <i>B, D</i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Докажите, что точки <i>X, I, Y</i> лежат на одной прямой.
Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Внутри треугольника <i>BCD</i> взяли точку <i>L<sub>a</sub></i>, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников <i>ACD, ABD, ABC</i> взяли точки <i>L<sub>b</sub>, L<sub>c</sub></i> и <i>L<sub>d</sub></i> соответственно. Оказалось, что четырёхугольник <i>L<sub>a</sub>L<sub>b</sub>L<sub>c</sub>L<sub>d</sub></i> вписанный. Докажите, что у <i>ABCD</i> есть две параллельные стороны.
Дан фиксированный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>D</i> – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в <i>D</i>, проходящая через <i>A</i>, пересекает вторично прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A<sub>b</sub></i> и <i>A<sub>c</sub></i> соответственно. Аналогично определяются точки <i>B<sub>a</sub>, B<sub>c</sub>, C<sub>a</sub></i> и <i>C<sub>b</sub></i>. Точку <i>D</i> назовём <i>хорошей</i>, если точки <i>A<sub>b</sub>, A<sub>c</sub>, B<sub>a</sub>, B<sub>c</sub>...
Выпуклый фанерный многоугольник <i>P</i> лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через <i>P</i>, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать <i>P</i> по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.