Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями

Дана описанная четырёхугольная пирамида <i>ABCDS</i>. Противоположные стороны основания пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, причём точки <i>A</i> и <i>B</i> лежат на отрезках <i>PD</i> и <i>PC</i>. Вписанная сфера касается боковых граней <i>ABS</i> и <i>BCS</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что если прямые <i>PK</i> и <i>QL</i> пересекаются, то точка касания сферы и основания лежит на отрезке <i>BD</i>.

Дана тригармоническая четвёрка точек <i>A, B, C</i> и <i>D</i> (то есть  <i>AB·CD = AC·BD = AD·BC</i>).  Пусть <i>A</i>₁ – такая отличная от <i>A</i> точка, что четвёрка точек <i>A</i>₁, <i>B, C</i> и <i>D</i> тригармоническая. Точки <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ и <i>D</i>₁ определяются аналогично. Докажите, что

  a) <i>A, B, C</i>₁, <i>D</i>₁ лежат на одной окружности;

  б) точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C...

Существует ли выпуклый многогранник, у которого есть диагонали и каждая диагональ меньше любого ребра?

Окружности ω₁ и ω₂ касаются друг друга внешним образом в точке <i>P</i>. Из точки <i>A</i> окружности ω₂, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные <i>AB, AC</i> к ω₁. Прямые <i>BP, CP</i> вторично пересекают ω₂ в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Докажите, что прямая <i>EF</i>, касательная к ω₂ в точке <i>A</i>, и общая касательная к окружностям в точке <i>P</i> пересекаются в одной точке.

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой <i>AC</i>, проведена биссектриса треугольника <i>BD</i>; отмечены середины <i>E</i> и <i>F</i> дуг <i>BD</i> окружностей, описанных около треугольников <i>ADB</i> и <i>CDB</i> соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.

Из некоторой точки <i>D</i> в плоскости треугольника <i>ABC</i> провели прямые, перпендикулярные к отрезкам <i>DA, DB, DC</i>, которые пересекают прямые <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Докажите, что середины отрезков <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ лежат на одной прямой.

В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> высота из вершины <i>A</i>, биссектриса из вершины <i>B</i> и медиана из вершины <i>C </i>пересекаются в одной точке <i>K</i>.

  а) Какая из сторон треугольника средняя по величине?

  б) Какой из отрезков <i>AK, BK, CK</i> средний по величине?

Постройте такое подмножество круга, площадью в половину площади круга, что его образ при симметрии относительно любого диаметра пересекается с ним по площади, равной четверти круга.

На окружности ω c центром <i>O</i> фиксированы точки <i>A</i> и <i>C</i>. Точка <i>B</i> движется по дуге <i>AC</i>. Точка <i>P</i> – фиксированная точка хорды <i>AC</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>AO</i>, пересекает прямую <i>BA</i> в точке <i>A</i>₁; прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>CO</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C</i>₁. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ движется по прямой.

Окружности ω₁ и ω₂ пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Точки <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂ на ω₁ и ω₂ соответственно таковы, что <i>K</i>₁<i>A</i> касается ω₂, а <i>K</i>₂<i>A</i> касается ω₁. Описанная окружность треугольника <i>K</i>₁<i>BK</i>₂ пересекает вторично прямые <i>AK</i>₁ и <i>AK</i>₂ в точках <i>L</i><sub&...

Верно ли, что существуют выпуклые многогранники с любым количеством диагоналей? (<i>Диагональю</i> называется отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий на его поверхности.)

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

Вписанная окружность разностороннего треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Окружность с диаметром <i>BC'</i> пересекает вписанную окружность вторично в точке <i>A</i>₁, а биссектрису угла <i>B</i> вторично в точке <i>A</i>₂. Окружность с диаметром <i>AC'</i> пересекает вписанную окружность вторично в точке <i>B</i>₁, а биссектрису угла <i>A</i> вторично в точке <i>B</i>₂. Докажите, что прямые <i>AB, A</i>₁<i>B</i>₁, <i>A</i><sub>2</su...

Даны окружность, её хорда <i>AB</i> и середина <i>W</i> меньшей дуги <i>AB</i>. На большей дуге <i>AB</i> выбирается произвольная точка <i>C</i>. Касательная к окружности, проведённая из точки <i>C</i>, пересекает касательные, проведённые из точек <i>A</i> и <i>B</i>, в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Прямые <i>WX</i> и <i>WY</i> пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>N</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что длина отрезка <i>NM</i> не зависит от выбора точки <i>C</i>.