Олимпиадные задачи из источника «VIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2012 г.)» для 11 класса

На плоскости даны <i>n</i>  (<i>n</i> > 2)  точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколькими различными способами это множество точек можно разбить на два непустых подмножества так, чтобы выпуклые оболочки этих подмножеств не пересекались?

На каждой из двенадцати диагоналей граней куба выбирается произвольная точка. Определяется центр тяжести этих двенадцати точек.

Найдите геометрическое место всех таких центров тяжести.

В сегмент, ограниченный хордой и дугой <i>AB</i> окружности, вписана окружность ω с центром <i>I</i>. Обозначим середину указанной дуги <i>AB</i> через <i>M</i>, а середину дополнительной дуги через <i>N</i>. Из точки <i>N</i> проведены две прямые, касающиеся ω в точках <i>C</i> и <i>D</i>. Противоположные стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Y</i>, а его диагонали пересекаются в точке <i>X</i>. Докажите, что точки <i>X, Y, I</i> и <i>M</i> лежат на одной прямой.

Через ортоцентр остроугольного треугольника проведены две перпендикулярные прямые. Стороны треугольника высекают на каждой из этих прямых два отрезка: один, лежащий внутри треугольника, второй – вне его. Докажите, что произведение двух внутренних отрезков равно произведению двух внешних.

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> отметили точку <i>D</i>. Пусть ω₁ и Ω₁, ω₂ и Ω₂ – соответственно вписанные и вневписанные (касающиеся <i>AB</i> во внутренней точке) окружности треугольников <i>ACD</i> и <i>BCD</i>. Докажите, что общие внешние касательные к ω₁ и ω₂, Ω₁ и Ω₂ пересекаются на прямой <i>AB</i>.

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках <i>X, Y</i>, расстояние между которыми тоже равно 1. Из точки <i>C</i> одной окружности проведены к другой касательные <i>CA, CB</i>, вторично пересекающие первую окружность в точках <i>B', A'</i>. Прямые <i>AA'</i> и <i>BB'</i> пересекаются в точке <i>Z</i>. Найдите угол <i>XZY</i>.

На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.

Квадрат <i>ABCD</i> вписан в окружность. Точка <i>M</i> лежит на дуге <i>BC</i>, прямая <i>AM</i> пересекает <i>BD</i> в точке <i>P</i>, прямая <i>DM</i> пересекает <i>AC</i> в точке <i>Q</i>.

Докажите, что площадь четырёхугольника <i>APQD</i> равна половине площади квадрата.

Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AB, O</i> – центр описанной окружности ω треугольника <i>CMB</i>. Прямая <i>AC</i> вторично пересекает окружность ω в точке <i>K</i>. Прямая <i>KO</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что прямые <i>AL</i> и <i>KM</i> пересекаются на описанной окружности треугольника <i>ACM</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Рассматриваются прямые <i>l</i>, обладающие следующим свойством: три прямые, симметричные <i>l</i> относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Докажите, что все такие прямые проходят через одну точку.

Дан треугольник <i>ABC</i> и точка <i>P</i>. Точки <i>A', B', C'</i> – проекции <i>P</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i> и параллельная <i>AB</i>, вторично пересекает описанную окружность треугольника <i>PA'B'</i> в точке <i>C</i>₁. Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ определены аналогично. Докажите, что

  а) прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке;

  б) треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i&gt...

В выпуклом четырёхугольнике все стороны и все углы попарно различны.

  а) Может ли наибольший угол примыкать к наибольшей стороне, и при этом наименьший – к наименьшей?

  б) Может ли наибольший угол не примыкать к наименьшей стороне, и при этом наименьший не примыкать к наибольшей?