Олимпиадные задачи из источника «VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)» для 8 класса - сложность 3-5 с решениями

а) Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).б) Найдите геометрическое место центров тяжести тетраэдров, вершины которых лежат на гранях данного тетраэдра (по одной вершине внутри каждой грани).

В трапеции <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>O</i>. На боковой стороне <i>CD</i> выбрана точка <i>M</i>, а на основаниях <i>BC</i> и <i>AD</i> – точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что отрезки <i>MP</i> и <i>MQ</i> параллельны диагоналям трапеции. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через точку <i>O</i>.

Есть лист жести размером 6×6. Разрешается надрезать его, но так, чтобы он не распадался на части, и сгибать.

Как сделать куб с ребром 2, разделённый перегородками на единичные кубики?

Пользуясь только линейкой, разделите сторону квадратного стола на <i>n</i> равных частей. Линии можно проводить только на поверхности стола.

На плоскости отмечена точка <i>M</i>, не лежащая на осях координат. По оси ординат движется точка <i>Q</i>, а по оси абсцисс точка <i>P</i> так, что угол <i>PMQ</i> всегда остаётся прямым. Найдите геометрическое место точек <i>N</i>, симметричных <i>M</i> относительно <i>PQ</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. <i>A</i>₀ – середина стороны <i>BC</i>. Прямые <i>A</i>₀<i>B</i>₁ и <i>A</i>₀<i>C</i>₁ пересекают прямую, проходящую через вершину <i>A</i> параллельно прямой <i>BC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>PA</i>₀<i>Q</i> лежит на высоте треугольника <i>ABC</i>.

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.

Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

Около треугольника <i>ABC</i> описали окружность. <i>A</i>₁ – точка пересечения с нею прямой, параллельной <i>BC</i> и проходящей через <i>A</i>. Точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ определяются аналогично. Из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ опустили перпендикуляры на <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Петя вырезал из бумаги прямоугольник, положил на него такой же прямоугольник и склеил их по периметру. В верхнем прямоугольнике он провёл диагональ, опустил на неё перпендикуляры из двух оставшихся вершин, разрезал верхний прямоугольник по этим линиям и отогнул полученные треугольники во внешнюю сторону, так что вместе с нижним прямоугольником они образовали прямоугольник.

Как по полученному прямоугольнику восстановить исходный с помощью циркуля и линейки?