Олимпиадные задачи из источника «II Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2006 г.)» для 10 класса - сложность 2-4 с решениями
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника <i>ABC</i>, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
В невыпуклом шестиугольнике каждый угол равен либо 90, либо 270 градусов. Верно ли, что при некоторых длинах сторон его можно разрезать на два подобных ему и неравных между собой шестиугольника?
Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> подобны и по-разному ориентированы. На отрезке <i>AA</i><sub>1</sub> взята такая точка <i>A'</i>, что <i>AA'</i> : <i>A</i><sub>1</sub><i>A' = BC</i> : <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>. Аналогично строим <i>B'</i> и <i>C'</i>. Докажите, что <i>A', B'</i> и <i>C'</i> лежат на одной прямой.
Дана окружность, точка<i> A </i>на ней и точка<i> M </i>внутри нее. Рассматриваются хорды<i> BC </i>, проходящие через<i> M </i>. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников<i> ABC </i>, касаются некоторой фиксированной окружности.
Дан треугольник<i> ABC </i>и точка<i> P </i>внутри него.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>– проекции<i> P </i>на прямые<i> BC </i>,<i> CA </i>,<i> AB </i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника<i> A'B'C' </i>, лежит внутри треугольника<i> ABC </i>.
Может ли развертка тетраэдра оказаться треугольником со сторонами 3, 4 и 5 (тетраэдр можно резать только по ребрам)?
Прямые, содержащие медианы треугольника <i>ABC</i>, вторично пересекают его описанную окружность в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub>. Прямые, проходящие через <i>A, B, C </i> и параллельные противоположным сторонам, пересекают ее же в точках <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>. Докажите, что прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub&...
Дана окружность и точка<i> P </i>внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке<i> P </i>. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.
Проекции точки <i>X</i> на стороны четырёхугольника <i>ABCD</i> лежат на одной окружности. <i>Y</i> – точка, симметричная <i>X</i> относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки <i>B</i> на прямые <i>AX, XC, CY, YA</i> также лежат на одной окружности.
Пять прямых проходят через одну точку. Докажите, что существует замкнутая пятизвенная ломаная, вершины и середины звеньев которой лежат на этих прямых, причём на каждой прямой лежит ровно по одной вершине.