Олимпиадные задачи из источника «I Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2005 г.)» для 9 класса - сложность 2 с решениями

Дана окружность и точка <i>К</i> внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку <i>К</i>, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд.

Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.

Хорды <i>AC</i> и <i>BD</i> окружности пересекаются в точке <i>P</i>. Перпендикуляры к <i>AC</i> и <i>BD</i> в точках <i>C</i> и <i>D</i>, соответственно пересекаются в точке <i> Q </i>.

Докажите, что прямые <i>AB</i> и <i>PQ</i> перпендикулярны.

Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника.

Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.

Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, центр <i>O</i> которой лежит внутри него.

Доказать, что, если  ∠<i>BAO</i> = ∠<i>DAC</i>,  то диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Оклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.