Олимпиадные задачи из источника «15 (2017 год)» для 2-11 класса - сложность 2-4 с решениями

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Пусть ω – его описанная окружность, точка <i>M</i> – середина стороны <i>BC, P</i> – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ и ω, <i>T</i> – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках <i>B</i> и <i>C, S</i> – точка пересечения <i>AT</i> и ω. Докажите, что <i>P, A</i>₁, <i>S</i> и середина отрезка <i>MT</i> лежат на од...

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно. Описанная окружность треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ пересекает прямые <i>B</i>₁<i>A</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Докажите, что ортоцентр <i>H</i> треугольник...

Докажите, что окружность, построенная на стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> как на диаметре, касается его вписанной окружности тогда и только тогда, когда сторона <i>AB</i> равна радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны.

На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.

Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.

Какое наибольшее количество граней n-угольной пирамиды может быть перпендикулярно основанию?

Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66141/problem_66141_img_2.gif"></div>

Вокруг треугольника <i>ABC</i> с острым углом <i>C</i> описана окружность. На дуге <i>AB</i>, не содержащей точку <i>C</i>, выбрана точка <i>D</i>. Точка <i>D'</i> симметрична точке <i>D</i> относительно прямой <i>AB</i>. Прямые <i>AD'</i> и <i>BD'</i> пересекают стороны <i>BC</i> и <i>AC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Пусть точка <i>C</i> движется по своей дуге <i>AB</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>CEF</i> движется по прямой.

Два квадрата расположены, как показано на рисунке. Докажите, что площадь чёрного треугольника равна сумме площадей серых. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66139/problem_66139_img_2.gif"></div>

Точка <i>M</i> лежит на стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b</i>.

Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно четырёхугольника <i>ABCD</i>. Известно, что  <i>BC || AD</i>  и  <i>AN = CM</i>.

Верно ли, что <i>ABCD</i> – параллелограмм?

Дана равнобокая трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i>. В треугольники <i>ABC</i> и <i>ABD</i> вписаны окружности с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂.

Докажите, что прямая <i>O</i>₁<i>O</i>₂ перпендикулярна <i>BC</i>.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что  <i>AB = CK</i>.  Точки <i>N</i> и <i>M</i> – середины отрезков <i>AK</i> и <i>BC</i> соответственно. Отрезки <i>NM</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что  <i>KN = KP</i>.