Олимпиадные задачи из источника «01 (2003 год)» - сложность 2-3 с решениями
01 (2003 год)
НазадДан треугольник <i>АВС.</i> Точка <i>О</i><sub>1</sub> – центр прямоугольника <i>ВСDE</i>, построенного так, что сторона <i>DE</i> прямоугольника содержит вершину <i>А</i> треугольника. Точки <i>О</i><sub>2</sub> и <i>О</i><sub>3</sub> являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах <i>АС</i> и <i>АВ</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>АО</i><sub>1</sub>, <i>ВО</i><sub>2</sub> и <i>СО</i><sub>3</sub> пересекаются в одной точке.
В треугольнике <i>ABC</i> <i>M</i> – точка пересечения медиан, <i>O</i> – центр вписанной окружности, <i>A'</i>, <i>B'</i>, <i>C'</i> – точки ее касания со сторонами <i>BC</i>, <i>CA</i>, <i>AB</i> соответственно. Докажите, что, если <i>CA' </i>= <i>AB</i>, то прямые <i>OM</i> и <i>AB</i> перпендикулярны.
Внутри отрезка <i>АС</i> выбрана произвольная точка <i>В</i> и построены окружности с диаметрами <i>АВ</i> и <i>ВС</i>. На окружностях (в одной полуплоскости относительно <i>АС</i>) выбраны соответственно точки <i>M</i> и <i>L</i> так, что ∠<i>MBA</i> = ∠<i>LBC</i>. Точки <i>K</i> и <i>F</i> отмечены соответственно на лучах <i>ВМ</i> и <i>BL</i> так, что
<i>BK = BC</i> и <i>BF = AB</i>. Докажите, что точки <i>M, K, F</i> и <i>L</i> лежат на одной окружности.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> ∠<i>ABC</i> = 90°, ∠<i>BAC</i> = ∠<i>CAD, AC = AD, DH</i> – высота треугольника <i>ACD</i>.
В каком отношении прямая <i>BH</i> делит отрезок <i>CD</i>?
Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к другой стороне (<i>исследование вопроса о количестве решений не требуется</i>).