Олимпиадные задачи из источника «2017/2018» для 11 класса
Может ли квадрат являться развёрткой некоторой треугольной пирамиды?
Известно, что в десятичной записи числа 2<sup>29</sup> все цифры различны. Есть ли среди них цифра 0?
Число <i>p</i> – корень кубического уравнения <i>x</i>³ + <i>x</i> – 3 = 0.
Придумайте кубическое уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет число <i>p</i>².
Можно ли на числовой прямой расположить три отрезка чётной длины так, чтобы общие части каждых двух из них были отрезками нечётной длины?
В выпуклом четырёхугольнике <i>АВСD</i> точка <i>K</i> – середина стороны <i>ВС</i>, а <i>S<sub>АВСD</sub></i> = 2<i>S<sub>АKD</sub></i>.
Найдите длину медианы <i>КЕ</i> треугольника <i>AKD</i>, если <i>AB = a, CD = b</i>.
Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа <i>n</i> лежит на отрезке <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66356/problem_66356_img_2.gif">
Пусть <i>R</i><sub>1</sub>, <i>R</i><sub>2</sub> и <i>R</i><sub>3</sub> – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что <sup>1</sup>/<sub><i>R</i><sub>1</sub></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>R</i><sub>2</sub></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>R</i><sub>3</sub></sub> ≤ <sup>1</sup>/<sub><i>r</i></sub>, где <i>r</i> – радиус вписанной окружности этого треугольника.
Для всех действительных <i>x</i> и <i>y</i> выполняется равенство <i>f</i>(<i>x</i>² + <i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(<i>y</i>²). Найдите <i>f</i>(–1).
Из клетчатой доски размером 8×8 выпилили восемь прямоугольников размером 2×1. После этого из оставшейся части требуется выпилить квадрат размером 2×2. Обязательно ли это удастся?
Какие значения может принимать выражение <i>x + y + z</i>, если sin <i>x</i> = cos <i>y</i>, sin <i>y</i> = cos <i>z</i>, sin <i>z</i> = cos <i>x</i>, 0 ≤ <i>x, y, z</i> ≤ <sup>π</sup>/<sub>2</sub>?
В зале стоят шесть стульев в два ряда – по три стула в каждом, один ряд ровно за другим. В зал пришли шесть человек различного роста.
Сколькими способами можно рассадить их так, чтобы каждый человек, сидящий в первом ряду, был ниже человека, сидящего за ним?
В четырёхугольнике <i>ABCD AB = ВС = m</i>, ∠<i>АВС</i> = ∠<i>АDС</i> = 120°. Найдите <i>BD</i>.
Решите уравнение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66348/problem_66348_img_2.gif">
Докажите, что при <i>n</i> > 0 многочлен <i>x</i><sup>2<i>n</i>+1</sup> – (2<i>n</i> + 1)<i>x</i><sup><i>n</i>+1</sup> + (2<i>n</i> + 1)<i>x<sup>n</sup></i> – 1 делится на (<i>x</i> – 1)³.