Заметим, что  2·2²⁹ = 2³⁰ = (1024)³ < 2·10⁹.  Следовательно,  2²⁹ < 10⁹.  С другой стороны,  2²⁹ = (2¹⁰)²·2⁹ = (1024)²·512 > 5·10⁸.  Поэтому в записи числа 2²⁹ ровно девять цифр.

  Если среди них нет нуля, то сумма цифр в десятичной записи этого числа равна  1 + 2 + ... + 9 = 45.  Отсюда следует, что 2²⁹ делится на 3, что не так. Противоречие.

Есть.