Олимпиадные задачи из источника «2010/11» для 7 класса - сложность 2 с решениями
Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что каждые два из них взаимно просты?
В треугольниках <i>АВС</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>: ∠<i>А</i> = ∠<i>А</i><sub>1</sub>, равны высоты, проведённые из вершин <i>В</i> и <i>В</i><sub>1</sub>, а также равны медианы, проведённые из вершин <i>С</i> и <i>С</i><sub>1</sub>. Обязательно ли эти треугольники равны?
Существуют ли такие целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i>, для которых выполняется равенство: (<i>x – y</i>)³ + (<i>y – z</i>)³ + (<i>z – x</i>)³ = 2011?
Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?
Целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>) = <i>x + y + z</i>. Докажите, что число <i>x + y + z</i> делится на 27.
а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.