Олимпиадные задачи из источника «2008 год» - сложность 2 с решениями
Через центр <i>O</i> вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой <i>AO</i> и пересекающая прямую <i>BC</i> в точке <i>M</i>.
Из точки <i>O</i> на прямую <i>AM</i> опущен перпендикуляр <i>OD</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.
На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок.
Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?
Найдите наименьшее натуральное<i>n</i>, для которого число<i>n<sup>n</sup></i>не является делителем числа 2008!.
Числа <i>p</i> и <i>q</i> таковы, что параболы <i>y</i> = – 2<i>x</i>² и <i>y = x</i>² + <i>px + q</i> пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.
Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.
Все целые числа от<i> -</i>33до100включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число, ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получится целое число?
Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?
Пусть <i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC, O</i> – центр описанной около этого треугольника окружности, <i>D</i> – такая точка на стороне <i>AC</i>, что <i>AD = AB</i>. Докажите, что прямые <i>AO</i> и <i>LD</i> перпендикулярны.
Две команды КВН участвуют в игре из четырёх конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку – целое число от 1 до 5; компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырёх полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чем у выигравшей?
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>M</i> соответственно так, что <i>KM || AC</i>. Отрезки <i>AM</i> и <i>KC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что <i>AK = AO</i> и <i>KM = MC</i>. Докажите, что <i>AM = KB</i>.
В кинотеатре семь рядов по 10 мест каждый. Группа из 50 детей сходила на утренний сеанс, а потом на вечерний.
Докажите, что найдутся двое детей, которые на утреннем сеансе сидели в одном ряду и на вечернем тоже сидели в одном ряду.
Верно ли, что к любому числу, равному произведению двух последовательных натуральных чисел, можно приписать в конце какие-то две цифры так, что получится квадрат натурального числа?