Олимпиадная задача по теории чисел для 8-11 классов от Ушакова В. Г.: наименьшее n, при котором nⁿ не делит 2008!

  Если  n ≤ 2008,  то 2008! делится на nⁿ (так как числа n, 2n, ...,  (n – 1)n  и n² содержатся среди чисел 1, 2, ..., 2007, 2008). Так как  44² < 2008 < 45²,  то достаточно проверить делимость 2008! на nⁿ при  n > 45.

  2008! делится на  4545 = 5⁴⁵·3⁹⁰,  так как среди чисел 1, 2, ..., 2007, 2008 заведомо найдётся 45 чисел, кратных 5, и 90 чисел, кратных 3

(5·45 = 22 < 2008  и  3·90 = 270 < 2008).

  2008! делится на  46⁴⁶ = 2⁴⁶·23⁴⁶,  так как среди чисел 1, 2, ..., 2007, 2008 заведомо найдётся 46 чётных чисел и 46 чисел, кратных 23

(23·46 = 1058 < 2008).

  2008! не делится на 47⁴⁷, так как число 47 простое, и поэтому среди чисел 1, 2, ..., 2007, 2008 есть лишь 42 числа, кратных 47

(47·42 = 1974 < 2008 < 2021 = 43·47).

n = 47.