Олимпиадные задачи из источника «2006 год» для 11 класса
Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по <i>n</i> коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., <i>n</i> у. е. соответственно. Требуется купить такие <i>k</i> из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее <i><sup>k</sup>/<sub>n</sub></i> массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.
а) Какие коробки следует купить при <i>n</i> = 10 и <i>k</i> = 3 ?
б) Тот же вопрос для произвольных натуральных <i>n ≥ k</i>.
Можно ли намотать нерастяжимую ленту на бесконечный конус так, чгобы сделать вокруг его оси бесконечно много оборотов? Ленту нельзя наматывать на вершину конуса, а также разрезать и перекручивать. При необходимости можно считать, что она бесконечна, а угол между осью и образующей конуса достаточно мал.
Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии <i>a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,..., a<sub>5</sub></i>, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos <i>a<sub>1</sub></i>, cos <i>a<sub>2</sub></i>, cos <i>a<sub>3</sub></i>, а также числа sin <i>a<sub>3</sub></i>, sin <i>a<sub>4</sub></i> и sin <i>a<sub>5</sub></i> в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.
В коробке лежат карточки, занумерованные натуральными числами от <i>1</i> до <i>2006</i>. На карточке с номером <i>2006</i> лежит карточка с номером <i>2005</i> и т. д. до <i>1</i>. За ход разрешается взять одну верхнюю карточку (из любой коробки) и переложить ее либо на дно пустой коробки, либо на карточку с номером на единицу больше. Сколько пустых коробок нужно для того, чтобы переложить все карточки в другую коробку?
Можно ли замостить все пространство равными тетраэдрами, все грани которых — прямоугольные треугольники?
Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?