Олимпиадные задачи из источника «1998 год» - сложность 3 с решениями
В неравнобедренном треугольнике<i> ABC </i>проведены медианы<i> AK </i>и<i> BL </i>. Углы<i> BAK </i>и<i> CBL </i>равны30<i><sup>o</sup> </i>. Найдите углы треугольника<i> ABC </i>.
Точка<i> O </i>лежит внутри ромба<i> ABCD </i>. Угол<i> DAB </i>равен110<i><sup>o</sup> </i>. Углы<i> AOD </i>и<i> BOC </i>равны80<i><sup>o</sup> </i>и100<i><sup>o</sup> </i>соответственно. Чему может быть равен угол<i> AOB </i>?
Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Точка <i>M</i> лежит на прямой <i>AB</i>, причём ∠<i>AMO</i> = ∠<i>MAD</i>.
Докажите, что точка <i>M</i> равноудалена от точек <i>C</i> и <i>D</i>.
Решите в натуральных числах уравнение 3<sup><i>x</i></sup> + 4<sup><i>y</i></sup> = 5<sup><i>z</i></sup>.
Про непрерывную функцию<i>f</i>известно, что:<ol> <li><i>f</i> определена на всей числовой прямой; </li> <li><i>f</i> в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график <i>f</i> в каждой точке имеет единственную касательную); </li> <li>график функции <i>f</i> не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна. </li> </ol> Следует ли отсюда, что график <i>f</i> — прямая?
Числа <i>x, y, z</i> удовлетворяют равенству <i>x + y + z</i> – 2(<i>xy + yz + xz</i>) + 4<i>xyz</i> = ½. Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.
Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?
Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?
В стране Нашии есть военные базы, соединённые дорогами. Набор дорог называется <i>важным</i>, если после закрытия этих дорог найдутся две базы, не соединённые путем. Важный набор называется <i>стратегическим</i>, если он не содержит меньшего важного набора. Докажите, что множество дорог, каждая из которых принадлежит ровно одному из двух различных стратегических наборов, образует важный набор.
Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов. При этом все квадраты одинаковы и стороны каждого белого квадрата параллельны сторонам красного. Всегда ли можно удалить один из белых квадратов так, что оставшиеся белые квадраты все еще будут покрывать целиком красный квадрат? Комментарий. Во фразе "все квадраты одинаковы" имеется в виду, что все белые квадраты имеют тот же размер, что и красный.
За круглым столом сидят несколько гостей. Некоторые из них знакомы между собой; знакомство взаимно. Все знакомые каждого гостя (считая его самого) сидят вокруг стола через равные промежутки. (Для другого человека эти промежутки могут быть другими.) Известно, что каждые двое имеют хотя бы одного общего знакомого. Докажите, что все гости знакомы друг с другом.