Олимпиадная задача по планиметрии о треугольнике с медианами, 8–9 класс
Задача
В неравнобедренном треугольнике ABC проведены медианы AK и BL . Углы BAK и CBL равны30o . Найдите углы треугольника ABC .
Решение
Пусть прямая AB пересекается с прямой, проходящей через точку K перпендикулярно медиане AK , в точке P . На продолжении отрезка PK за точку K отложим отрезок KQ = PK . Из прямоугольного
треугольника APK находим, что 
APK = 60o . В треугольнике APQ высота AK является медианой, значит, этот треугольник –
равнобедренный, а т.к. один из его углов равен60o , то
треугольник APQ – равносторонний.
Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . Тогда 
= 
. Таким образом, точка M , лежащая на
медиане треугольника APQ , делит её в отношении 2:1, считая от вершины.
Значит, M – точка пересечения медиан треугольника APQ , т.е.центр
этого правильного треугольника.
Тогда KPM = 30o = KBM , поэтому точки M , K , P и B лежат на одной окружности, причём PM – диаметр этой окружности,
т.к. PKM = 90o . Но тогда и PBM = 90o . Следовательно,
ABC = ABM + MBK = 90o+30o = 120o.
Пусть сторона треугольника APQ равна2a . Тогда
AB = 
AP = a, BK= a, BC = 2BK = 2a.
AC = 
=
= a
.
cos ACB = 
= 
,
cos CAB = 
= 
.
Ответ
ABC = 120o , BAC = arccos , ACB = arccos .
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь