Олимпиадные задачи из источника «1993 год» - сложность 2 с решениями
Окружность с центром <i>D</i> проходит через вершины <i>A, B</i> и центр <i>O</i> вневписанной окружности треугольника <i>ABC </i>, касающейся его стороны <i>BC</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.
Известно, что<i>tg</i> $\alpha$+<i>tg</i> $\beta$=<i>p</i>,<i>ctg</i> $\alpha$+<i>ctg</i> $\beta$=<i>q</i>. Найти <i>tg</i> ($\alpha$+$\beta$).
При разложении чисел <i>A</i> и <i>B</i> в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа <i>A + B</i>?
Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?
Для двух данных различных точек плоскости<i>A</i>и<i>B</i>найдите геометрическое место таких точек<i>C</i>, что треугольник<i>ABC</i>остроугольный, а его угол<i>A</i> - средний по величине.Комментарий. Под<i>средним по величине</i>углом мы понимаем угол, который<i>не больше</i>одного из углов, и<i>не меньше</i>другого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.
Известно, что число <i>n</i> является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Показать, что число <i>n</i>² тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.
Обозначим через <i>S</i>(<i>x</i>) сумму цифр натурального числа <i>x</i>. Решить уравнения:
а) <i>x + S</i>(<i>x</i>) + <i>S</i>(<i>S</i>(<i>x</i>)) = 1993;
б) <i>x + S</i>(<i>x</i>) + <i>S</i>(<i>S</i>(<i>x</i>)) + <i>S</i>(<i>S</i>(<i>S</i>(<i>x</i>))) = 1993.