Олимпиадная задача: сумма цифр числа и уравнения, Кукушкин Б. Н., 7-9 класс

  а) Согласно признаку делимости на 3, числа x и S(x) дают одинаковые остатки от деления на 3. Такой же остаток будет и у числа S(S(x)). Значит, сумма

x + S(x) + S(S(x))  делится на 3 (так как это сумма трёх чисел с одинаковыми остатками от деления на 3). Однако, 1993 на 3 не делится, поэтому решений нет.   б) Ясно, что  x< 1993.  Нетрудно видеть, что среди чисел, меньших 1993, наибольшую сумму цифр 27 имеют числа 1989 и 999. Значит,  S(x) ≤ 27.  Далее, S(S(x)) ≤S(19) = 10.  Наконец,  S(S(S(x))) ≤ 9.  Из уравнения следует, что  x= 1993 –S(x) –S(S(x)) –S(S(S(x))) ≥ 1993 – 27 – 10 – 9 = 1947.   Аналогично а) все числаx, S(x),S(S(x)),S(S(S(x))) дают одинаковые остатки при делении на 9, а 1993 дает остаток 4, поэтому  x≡ 1 (mod 9). Среди чисел от 1947 до 1993 остаток 1 при делении на 9 дают 1954, 1963, 1972, 1981, 1990. Проверив эти числа, убеждаемся, что подходит только 1963.

а) Нет решений;  б)  x = 1963.