Олимпиадные задачи из источника «1992 год» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
Прибор для сравнения чисел log<i><sub>a</sub>b</i> и log<i><sub>c</sub>d</i> (<i>a, b, c, d</i> > 1) работает по правилам: если <i>b > a</i> и <i>d > c</i>, то он переходит к сравнению чисел log<i><sub>a</sub><sup>b</sup></i>/<sub><i>a</i></sub> и log<i><sub>c</sub><sup>d</sup></i>/<sub><i>c</i></sub> если <i>b < a</i> и <i>d < c</i>, то он переходит к сравнению чисел log<i><sub>d</sub>c</i> и log<i><sub>b</sub>a</i>; если (<i>b − a</i>)(<i>d − c</i>) ≤ 0, т...
Найдите углы выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>, в котором$\angle$<i>BAC</i>= 30<sup><tt>o</tt></sup>,$\angle$<i>ACD</i>= 40<sup><tt>o</tt></sup>,$\angle$<i>ADB</i>= 50<sup><tt>o</tt></sup>,$\angle$<i>CBD</i>= 60<sup><tt>o</tt></sup>и$\angle$<i>ABC</i> + $\angle$<i>ADC</i> = 180<sup><tt>o</tt></sup>.
Требуется заполнить числами квадратную таблицу из <i>n</i>×<i>n</i> клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из 4<i>n</i> – 2 диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при
а) <i>n</i> = 55?
б) <i>n</i> = 1992?
Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.
Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?
Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.