Олимпиадные задачи из источника «1989 год» для 10 класса - сложность 1-4 с решениями
На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.
Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?
Найдите все положительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub>10</sub>, удовлетворяющие при всех <i>k</i> = 1, 2,..., 10 условию (<i>x</i><sub>1</sub> + ... + <i>x<sub>k</sub></i>)(<i>x<sub>k</sub> + ... + x</i><sub>10</sub>) = 1.
В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AB, BC</i> и <i>AC</i> взяты соответственно точки <i>M, K</i> и <i>L</i> так, что прямая <i>MK</i> параллельна прямой <i>AC</i> и <i>ML</i> параллельна <i>BC</i>. При этом отрезок <i>BL</i> пересекает отрезок <i>MK</i> в точке <i>P</i>, а <i>AK</i> пересекает <i>ML</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что отрезки <i>PQ</i> и <i>AB</i> параллельны.
В пространстве имеются четыре различные прямые, окрашенные в два цвета: две красные и две синие, причём любая красная прямая перпендикулярна любой синей прямой. Докажите, что либо красные, либо синие прямые параллельны.
Все значения квадратного трёхчлена <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> на отрезке [0, 1] по модулю не превосходят 1.
Какое наибольшее значение при этом может иметь величина |<i>a| + |b| + |c</i>|?
Решите уравнение<div align="CENTER"> (<i>x</i><sup>2</sup> + <i>x</i>)<sup>2</sup> + $\displaystyle \sqrt{x^2-1}$ = 0. </div>