Олимпиадные задачи из источника «1987 год» для 8 класса

Можно ли разбить множество целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого значения<i>n</i>числа<i>n</i>,<i>n</i>- 50,<i>n</i>+ 1987 принадлежали трём разным подмножествам?

Найти такие 50 натуральных чисел, что ни одно из них не делится на другое, а произведение каждых двух из них делится на любое из оставшихся чисел.

Даны 7 различных цифр. Доказать, что для любого натурального числа<i>n</i>найдётся пара данных цифр, сумма которых оканчивается той же цифрой, что и число.

Можно ли выбрать некоторые натуральные числа так, чтобы при любом натуральном значении<i>n</i>хотя бы одно из чисел<i>n</i>,<i>n</i>+ 50 было выбрано и хотя бы одно из чисел<i>n</i>,<i>n</i>+ 1987 не было выбрано?

В классе организуется турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учащихся этого класса (кроме команды всего класса). Доказать, что каждая команда учащихся будет соревноваться с командой всех остальных учащихся класса.

Пусть<i>AB</i>— основание трапеции<i>ABCD</i>. Доказать, что если<i>AC</i>+<i>BC</i>=<i>AD</i>+<i>BD</i>, то трапеция<i>ABCD</i>— равнобокая.

По поляне, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной 100 м, бегает волк. Охотник убивает волка, если стреляет в него с расстояния не более 30 м. Доказать, что охотник может убить волка, как бы быстро тот ни бегал.

Доказать, что из любых 27 различных натуральных чисел, меньших 100, можно выбрать два числа, не являющихся взаимно простыми.

В марте 1987 года учитель решил провести 11 занятий математического кружка. Доказать, что если по субботам и воскресеньям кружок не проводить, то в марте найдутся три дня подряд, в течение которых не будет ни одного занятия кружка.