Ответ:нельзя.

Допустим, что это возможно. Докажем, что при любом натуральном значенииnровно одно из чиселn,n+ 50 выбрано и ровно одно из чиселn,n+ 1987 выбрано.

Заметим сначала, что числа отnдоn+ 99 можно разбить на пары вида (k,k+ 50). Действительно, объединение таких пар по всемk=n,...,n+ 49 есть в точности набор чисел отnдоn+ 99. Следовательно, и любой набор из 100mподряд идущих натуральных чисел можно разбить на пары такого вида (так как его можно разбить на наборы из ста подряд идущих чисел, а каждый такой набор можно разбить на пары указанного вида). Аналогично доказывается, что любой набор из2 ^. 1987mподряд идущих натуральных чисел можно разбить на пары вида(k,k+ 1987). Следовательно, любой набор из2 ^. 50 ^. 1987 = 198700 чисел можно разбить как на пары первого вида, так и на пары второго вида.

Рассмотрим набор чисел отnдоn+ 198700 - 1 включительно. В этом наборе ровно 198700 чисел. Следовательно, его можно разбить как на пары вида (k,k+ 50), так и на пары вида(k,k+ 1987). Так как в каждой паре вида (k,k+ 50) хотя бы одно число выбрано, то всего выбранных чисел хотя бы половина. С другой стороны, в каждой паре вида(k,k+ 1987) хотя бы одно число не выбрано. Следовательно, всего выбранных чисел не больше половины. Следовательно, их ровно половина, а значит, в каждой паре, на которые разбивался наш набор, ровно одно число выбрано. В частности, в каждой из пар (n,n+ 50) и(n,n+ 1987) ровно одно число выбрано. Таким образом, при любом натуральномnровно одно из чисел (n,n+ 50) выбрано и ровно одно из чисел(n,n+ 1987) выбрано.

Пустьn — какое-нибудь выбранное число. Индукцией поkможно показать, что числа видаn+ 50kвыбраны при чётныхkи не выбраны при нечётных. Действительно, базаk= 0 выполняется в силу выбора числаn, а шаг индукции следует из доказанного в предыдущем абзаце утверждения. Аналогично, числа видаn+ 1987kвыбраны при чётныхkи не выбраны при нечётных. Рассмотрим числоa=n+ 50 ^. 1987. С одной стороны, так как число 1987 нечётно, то числоaне выбрано. С другой стороны, так как число 50 чётно, то числоaвыбрано. Полученное противоречие доказывает, что указанным в условии задачи способом числа выбрать нельзя.

Ответ задачи отсутствует