Олимпиадные задачи из источника «1986 год» для 6-8 класса - сложность 1-5 с решениями

Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.

Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.

Решите систему неравенств

    |<i>x</i>| < |<i>y – z + t</i>|,

    |<i>y</i>| < |<i>x – z + t</i>|,

    |<i>z</i>| < |<i>x – y + t</i>|,

    |<i>t</i>| < |<i>x – y + z</i>|.

Докажите, что система неравенств

    |<i>x</i>| > |<i>y – z + t</i>|,

    |<i>y</i>| > |<i>x – z + t</i>|,

    |<i>z</i>| > |<i>x – y + t</i>|,

    |<i>t</i>| > |<i>x – y + z</i>|

не имеет решений.

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.

Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.

Три гнома живут в разных домах на плоскости и ходят со скоростями 1, 2 и 3 км/ч соответственно. Какое место для ежедневных встреч нужно им выбрать, чтобы сумма времён, необходимых каждому из гномов на путь от своего дома до этого места (по прямой), была наименьшей?

Докажите, что ни для каких чисел <i>x, y, t</i> не могут одновременно выполняться три неравенства:  |<i>x| < |y − t|, |y| < |t − x|, |t| < |x − y</i>|.

На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник ромбом.