Олимпиадные задачи из источника «1980 год» - сложность 3 с решениями

На пульте имеется несколько кнопок, с помощью которых осуществляется управление световым табло. После нажатия любой кнопки некоторые лампочки на табло переключаются (для каждой кнопки есть свой набор лампочек, причём наборы могут пересекаться). Доказать, что число состояний, в которых может находиться табло, равно некоторой степени числа 2.

См. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/179385">179385</a> а) и б).