Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» - сложность 2 с решениями

В треугольнике<i>ABC</i>проведены медианы<i>AD</i>и<i>BE</i>. Углы<i>CAD</i>и<i>CBE</i>равны30^<tt>o</tt>. Доказать, что треугольник<i>ABC</i>правильный.

Имеется набор натуральных чисел, причём сумма любых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100.

Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?

Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)

В некоторых клетках квадратной таблицы <i>n</i>×<i>n</i> стоят звёздочки. Известно, что если вычеркнуть любой набор строк (только не все), то найдётся столбец ровно с одной невычеркнутой звёздочкой. (В частности, если строки совсем не вычёркивать, то столбец ровно с одной звёздочкой существует.) Доказать, что если вычеркнуть любой набор столбцов (только не все), то найдётся строка ровно с одной невычеркнутой звёздочкой.