Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур» - сложность 2-5 с решениями
8 класс, 1 тур
НазадВ треугольнике<i>ABC</i>проведены медианы<i>AD</i>и<i>BE</i>. Углы<i>CAD</i>и<i>CBE</i>равны30<sup><tt>o</tt></sup>. Доказать, что треугольник<i>ABC</i>правильный.
Имеется набор натуральных чисел, причём сумма любых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100.
Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?
Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)
На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы Г'' . Концы коротких палочек у букв Г'' обозначим через<i>A</i>и<i>A'</i>. Длинные палочки
разделены на<i>n</i>равных частей точками<i>a</i><sub>1</sub>, ...,<i>a</i><sub>n - 1</sub>;<i>a'</i><sub>1</sub>,
...,<i>a'</i><sub>n - 1</sub>(точки деления нумеруются от концов длинных палочек).
Проводятся прямые<i>Aa</i><sub>1</sub>,<i>Aa</i><sub>2</sub>, ...,<i>Aa</i><sub>n - 1</sub>;<i>A'a</i><sup>$\scriptstyle \prime$</sup><sub>1</sub>,<i>A'a&...
В некоторых клетках квадратной таблицы <i>n</i>×<i>n</i> стоят звёздочки. Известно, что если вычеркнуть любой набор строк (только не все), то найдётся столбец ровно с одной невычеркнутой звёздочкой. (В частности, если строки совсем не вычёркивать, то столбец ровно с одной звёздочкой существует.) Доказать, что если вычеркнуть любой набор столбцов (только не все), то найдётся строка ровно с одной невычеркнутой звёздочкой.