Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» - сложность 1-5 с решениями
10 класс, 2 тур
НазадДоказать, что сумма цифр числа<i>N</i>превосходит сумму цифр числа5<sup>5 . </sup><i>N</i>не более чем в 5 раз.
В пространстве даны точка<i>O</i>и<i>n</i>попарно непараллельных прямых. Точка<i>O</i>ортогонально проектируется на все данные прямые. Каждая из получившихся точек снова проектируется на все данные прямые и т.д. Существует ли шар, содержащий все точки, которые могут быть получены таким образом?
Даны два набора чисел: <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> и <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i>. Расположим числа <i>a<sub>k</sub></i> в возрастающем порядке, а числа <i>b<sub>k</sub></i> – в убывающем порядке. Получатся наборы
<i>A</i><sub>1</sub> ≤ ... ≤ <i>A<sub>n</sub></i>, <i>B</i><sub>1</sub> ≥ ... ≥ <i>B<sub>n</sub></i>. Доказать, что max{<i>a</i><sub>1</sub> + <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub> + b<sub>n</sub></i>} ≥ max{<...