Олимпиадные задачи из источника «1959 год» для 3-10 класса - сложность 2 с решениями
Два концентрических круга поделены на 2<i>k</i>равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
Доказать, что не более одной вершины тетраэдра обладает тем свойством, что сумма любых двух плоских углов при этой вершине больше180<sup><tt>o</tt></sup>.
Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.
Даны два пересекающихся отрезка длины 1,<i>AB</i>и<i>CD</i>. Доказать, что по крайней мере одна из сторон четырёхугольника<i>ABCD</i>не меньше${\frac{\sqrt{2}}{2}}$.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Построим треугольник, стороны которого касаются вневписанных окружностей этого треугольника. Зная углы исходного треугольника, найти углы построенного.
Даны 12 чисел,<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,...<i>a</i><sub>12</sub>, причём имеют место следующие неравенства:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i><sub>2</sub>(<i>a</i><sub>1</sub> - <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub>)</td> <td align="CENTER"><</td> <td align="LEFT">0</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i><sub>3</sub>(<i>a</i><sub>2</sub> - <i>a</i&...
Дан треугольник <i>ABC</i>. Найти такую точку, что если её симметрично отразить от любой стороны треугольника, то она попадает на описанную окружность.
Имеется два набора чисел <i>a</i><sub>1</sub> > <i>a</i><sub>2</sub> > ... > <i>a<sub>n</sub></i> и <i>b</i><sub>1</sub> > <i>b</i><sub>2</sub> > ... > <i>b<sub>n</sub></i>. Доказать, что <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>n</sub> > a</i><sub>1</sub><i>b<sub>n</sub> + a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>n</i>–1</sub> + ... + <i>a&...
В квадратную таблицу <i>N×N</i> записаны все целые числа по следующему закону: 1 стоит на любом месте, 2 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 1, 3 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 2, и так далее. На сколько сумма чисел в столбце, содержащем <i>N</i>², отличается от суммы чисел в строке, содержащей 1.
Доказать, что не существует таких натуральных чисел <i>x, y, z, k</i>, что <i>x<sup>k</sup> + y<sup>k</sup> = z<sup>k</sup></i> при условии <i>x < k, y < k</i>.
Доказать, что не существует тетраэдра, в котором каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла.
Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть <i>P<sub>k</sub></i> – число всех непересекающихся ломаных длины <i>k</i>, начинающихся в точке <i>O</i> – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что <i>P<sub>k</sub></i>·3<sup>–<i>k</i></sup> < 2 для любого <i>k</i>.
Имеется 1959 положительных чисел<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>...,<i>a</i><sub>1959</sub>, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.
Доказать, что число2<sup>2<sup>1959</sup></sup>– 1 делится на 3.