Олимпиадные задачи из источника «1958 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Стороны параллелограмма равны<i>a</i>и<i>b</i>. Найти отношение объёмов тел, полученных при вращении параллелограмма вокруг стороны<i>a</i>и вокруг стороны<i>b</i>.

Обозначим через<i>a</i>наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник<i>M</i>, через<i>b</i>— наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника<i>M</i>. Какое из чисел больше,<i>a</i>или<i>b</i>?

На стол кладут правильный 100-угольник, в вершинах которого написаны числа 1, 2, ..., 100. Затем эти числа переписывают в порядке удаления от переднего края стола. Если две вершины находятся на равном расстоянии от края, сначала выписывается левое число, затем правое. Выписаны всевозможные наборы чисел, соответствующие разным положениям 100-угольника. Вычислить сумму чисел, стоящих в этих наборах на 13-х местах слева.

Решить в целых положительных числах уравнение

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/78143/problem_78143_img_2.gif"></div>

Доказать, что если  |<i>ax</i>² – <i>bx + c</i>| < 1  при любом <i>x</i> из отрезка  [–1, 1],  то и  |(<i>a + b</i>)<i>x</i>² + <i>c</i>| < 1  на этом отрезке.