Олимпиадные задачи из источника «7,8 класс, 2 тур» для 2-9 класса - сложность 2-5 с решениями

При делении многочлена  <i>x</i>¹⁹⁵¹ – 1  на  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + 2<i>x</i>² + <i>x</i> + 1  получается частное и остаток. Найти в частном коэффициент при <i>x</i>¹⁴.

Проекцией точки<i>A</i>из точки<i>O</i>на плоскость<i>P</i>называется точка<i>A'</i>, в которой прямая<i>OA</i>пересекает плоскость<i>P</i>. Проекцией треугольника называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может быть проекция треугольника, если точка<i>O</i>не лежит в его плоскости?

На консультации было 20 школьников и разбиралось 20 задач. Оказалось, что каждый из школьников решил две задачи и каждую задачу решили два школьника. Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну из решённых им задач и все задачи были разобраны.

На плоскости даны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и три угла$\angle$<i>D</i>,$\angle$<i>E</i>,$\angle$<i>F</i>, меньшие180^<tt>o</tt>и в сумме равные360^<tt>o</tt>. Построить с помощью линейки и транспортира точку<i>O</i>плоскости такую, что$\angle$<i>AOB</i>=$\angle$<i>D</i>,$\angle$<i>BOC</i>=$\angle$<i>E</i>,$\angle$<i>COA</i>=$\angle$<i>F</i>(с помощью транспортира можно измерять и откладывать углы).

Докажите, что число  <img align="middle" src="/storage/problem-media/77928/problem_77928_img_2.gif">  не является кубом никакого целого числа.